TEORÍA DEL BINOMIO


3.       Teoría del binomio.

3.1.    Triángulo de Pascal.

3.2.    Combinaciones.

3.3.    Binomio de Newton con exponente positivo.

3.4.    Exponente negativo.

3.5.    Exponente fraccionario.

 

 

 

Exponente positivo

Cuando un binomio se eleva a una potencia cualquiera, se obtiene un desarrollo como los siguientes:

(a + b)0 = 1

(a + b)1 = a + b

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

….

De los ejemplos anteriores se puede tener algunas notas:

a)    Si n es el exponente, el número de términos del desarrollo es n+1

Por ejemplo, el primer binomio está elevado a la cero y el número de términos es uno.

b)    El coeficiente del primer término es siempre 1 (claro, luego se multiplica por la potencia del primer término del binomio)

c)    El segundo coeficiente siempre tiene el mismo valor de n

d)    El exponente al que se eleva el primer término del binomio es n y se va reduciendo de uno en uno hasta desaparecer.

e)    El exponente del segundo término del binomio empieza con 1 en el segundo término del desarrollo y aumenta de uno en uno hasta n.

f)     La suma de los exponentes de los dos términos en el desarrollo es igual a n

Por ejemplo el tercer término de un binomio al cubo, los exponentes de a es 1 y de b es 2, la suma es 3 (=n)

El principal problema, en todo caso, es calcular directamente los coeficientes del desarrollo.

Se tienen tres métodos para calcular los coeficientes:

i)     El triángulo de Pascal.

ii)    Combinaciones.

iii)  Binomio de Newton.

A continuación revisaremos como calcular los coeficientes por cada uno de los métodos.

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Triángulo de Pascal

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

3

 

3

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

4

 

6

 

4

 

1

 

 

 

 

 

1

 

5

 

10

 

10

 

5

 

1

 

 

 

1

 

6

 

15

 

20

 

15

 

6

 

1

 

1

 

7

 

21

 

35

 

35

 

21

 

7

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Analicemos primer lugar el procedimiento seguido para construir el triángulo aritmético o de Pascal.

Numeremos las filas del triángulo comenzando por 0, es decir fila 0, fila 1, fila 2, etc. La fila n contiene n + 1 elementos, el primero y el último de los cuales toman el valor 1, mientras que los demás elementos se obtienen sumando los dos elementos de la fila anterior entre los que se encuentra situado.

El interés de dicho triángulo se debe a múltiples razones. Por ejemplo: los números que aparecen en cada fila son los coeficientes que se obtienen al desarrollar (a + b)n. Por ejemplo, si nos fijamos en la fila 3 observamos que los números 1, 3, 3, 1 son precisamente los coeficientes del desarrollo de

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Los demás elementos del desarrollo siguen las características que se listaron anteriormente.

Por ejemplo, desarrollar (3a2 + 5)5

Solución. Tomamos los valores del triángulo de Pascal de la fila 5, estos valores son los coeficientes del desarrollo, considerando que el primer término es 3a2  y el segundo es 5

(3a2 + 5)5 = 1(3a2)5 +5(3a2)4 (5) + 10(3a2)3 (5)2+10(3a2)2 (5)3+5(3a2) (5)4 + (5)5

=243a10 + 5(81a8)(5) + 10(27a6)(25) + 10(9a4)(125) + 5(3a2)(625)+3125

=243a10 + 2025a8 + 6750a6 + 11250a4 + 9375a2+3125

 

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Combinaciones

El número de combinaciones que se pueden hacer con un conjunto de objetos que se pueden hacer tomando subconjuntos se puede calcular con la fórmula

donde n! se lee "n factorial" y significa: n! = n·(n - 1)·(n - 2)·.......·1. (por ejemplo   4! = 4·3·2·1=24) y, por definición 0!=1

Observando los coeficientes de cada polinomio resultante vemos que siguen esta secuencia, de acuerdo con el triángulo de Pascal,

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

3

 

3

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

4

 

6

 

4

 

1

 

 

 

 

 

1

 

5

 

10

 

10

 

5

 

1

 

 

 

1

 

6

 

15

 

20

 

15

 

6

 

1

 

1

 

7

 

21

 

35

 

35

 

21

 

7

 

1

 

cada uno de esos números corresponde al valor de un número combinatorio así:

             

             
           

 

           
         

 

 

         
       

 

 

 

       
     

 

 

 

 

     

 

Y así sucesivamente, entonces, podemos calcular los coeficientes de cualquier desarrollo utilizando el número de combinaciones de n elementos tomándolos de cero en cero, de uno en uno, de dos en dos, …, de n en n.

 

De esta manera evitamos el procedimiento de desarrollar el triángulo de Pascal, considerando que es muy engorroso cuando se eleva el binomio a un exponente muy grande.

 

 

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Binomio de Newton

 

 

Vamos a deducir la fórmula que nos permitirá elevar a cualquier potencia de exponente natural, n, un binomio. Esto es la forma de obtener

 

Para ello veamos como se van desarrollando las potencias de (a+b)

 

 

Y ya podemos escribir la fórmula general del llamado binomio de Newton

 

 

que también se puede escribir de forma abreviada así:

 

 

Ejemplos:

1) Desarrollar la potencia

 

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Exponente negativo

 

Para calcular los coeficientes de un desarrollo con exponente negativo, el mecanismo que se utiliza el Binomio de Newton, considerando

1.    El número de términos del desarrollo es infinito.

2.    El primer término del desarrollo tiene 1 como coeficiente por el primer término del binomio elevado al exponente n (n es el exponente al que se eleva el binomio).

3.    A partir del segundo término del desarrollo el exponente del primer término del binomio se va reduciendo de uno en uno y el exponente del segundo término del binomio va aumentando de uno en uno, de tal modo que al sumarlos, el resultado es n

4.    Los coeficientes de cada término del desarrollo se calculan multiplicando el coeficiente por el exponente del primer término dividido entre el número de términos que ya se tienen.

 

Por ejemplo, desarrollar

Solución.

 

Los desarrollos tienen características muy particulares, sin embargo, el procedimiento es siempre el mismo.

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Exponente fraccionario  

 

En el caso del exponente fraccionario (incluso negativo), se presenta exactamente el mismo procedimiento.

En cuanto al comportamiento de los exponentes se sigue el mismo patrón, uno se reduce y el otro aumenta.

Por ejemplo, desarrollar

 

Solución.

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